第七章第九节拓扑学

发布时间:2020-11-18 00:00:00 流览量:436 发布者:admin

  拓扑学是数学中一个重要的、基础的分支。起初它是几何学的一支,研究几何图形在连续变形下保持不变的性质(所谓连续变形,形象地说就是允许伸缩和扭曲等变形,但不许割断和粘合);现在已发展成为研究连续性现象的数学分支。由于连续性在数学中的表现方式与研究方法的多样性,拓扑学又分成研究对象与方法各异的若干分支。在拓扑学的孕育阶段,19世纪末,就已出现点集拓扑学与组合拓扑学两个方向。现在,前者演化为一般拓扑学,后者则成为代数拓扑学。后来,又相继出现了微分拓朴学、几何拓扑学等分支。

    拓扑学起初叫形势分析学,这是G.W.莱布尼茨1679年提出的名词。拓扑学这个词(中文是音译)是J.B.利斯廷1847年提出的,源自希腊文位置、形势与学问。

    1851年起,B.黎曼在复变函数的研究中提出,为了研究函数、研究积分,就必须研究形势分析学。从此开始了拓扑学的系统研究。

    组合拓扑学的奠基人是H.庞加莱。他是在分析学和力学的工作中,特别是关于复函数的单值化和关于微分方程决定的曲线的研究中,引向拓扑学问题。他探讨了三维流形的拓扑分类问题,提出了著名的庞加莱猜想。

    拓扑学的另一渊源是分析学的严密化。实数的严格定义推动了G.康托尔从1873年起系统地展开了欧氏空间中的点集的研究,得出许多拓扑概念。如:聚点、开集、连通性等。在点集论的思想影响下,分析学中出现了泛函数(即函数的函数)的概念。把函数集看成一种几何对象并讨论其中的极限,这终于导致了抽象空间的观念。

    拓扑问题的一些初等例子: 

    柯尼斯堡七桥问题(一笔划问题)。一个散步者怎样才能走遍七座桥而每座桥只经过一次?这个18世纪的智力游戏,被L.欧拉简化为用细线画出的网络能否一笔划出的问题,然后他证明了这是根本办不到的。一个网络能否被一笔画出,与线条的长短曲直无关,只决定于其中的点与线的连接方式。设想一个网络是用柔软而有弹性的材料制作的,在它被弯曲、拉伸后,能否一笔画出的性质是不会改变的。

欧拉的多面体公式与曲面的分类。欧拉发现,不论什么形状的凸多面体,其顶点数、棱数、面数之间总有这个关系。由此可证明正多面体只有五种。如果多面体不是凸的而呈框形(图33),则不管框的形状如何,总有。这说明,凸形与框形之间有比长短曲直更本质的差别,通俗地说,框形里有个洞。


在连续变形下,凸体的表面可以变成球面,框的表面可以变成环

面(轮胎面)。这两者都不能通过连续变形互变(图34)。在连续变形下封门曲面有多少种不同类型?怎样鉴别他们?这曾是19世纪后半叶拓扑学研究的主要问题。 


纽结问题。空间中一条自身不相交的封闭曲线,会发生打结现象。要问一个结能否解开(即能否变形成平放的圆圈),或者问两个结能否互变(如图35中两个三叶结能否互变)。同时给出严格证明,那远不是件容易的事了。


布线问题(嵌入问题)。一个复杂的网络能否布在平面上而又不自相交叉?做印制电路时自然会碰到这个问题。图36左面的图,把一条对角线移到方形外面就可以布在平面上。但图37中两个图却无论怎样移动都不能布在平面上。1930年K·库拉托夫斯基证明,一个网络是否能嵌入平面,就看其中是否不含有这两个图之一。


以上这些例子说明,几何图形还有一些不能用传统的几何方法来研究的性质。这些性质与长度、角度无关,它们所表现的是图形整体结构方面的特征。这种性质就是图形的所谓拓扑性质 。